กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีการรบกวน/ปรากฏการณ์ซีมาน

จาก วิกิตำรา
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
ผลการทดลองที่ซีมานค้นพบ จากการให้สนามแม่เหล็กกำลังสูงแก่แหล่งกำเนิดแสง

ปรากฏการณ์ซีมานเป็นปรากฏการณ์ที่ถูกค้นพบโดย ปีเตอร์ ซีมาน ชาวเนเธอร์แลนด์ เมื่อปี ค.ศ. ๑๘๙๖ พบว่าเมื่อให้สนามแม่เหล็กอย่างอ่อนๆแก่แหล่งกำเนิดแสง สเปกตรัมของแสงจะถูกแยกออกจากกัน ในปีเดียวกัน เฮนดริก ลอเลนซ์ ได้ใช้ผลจากปรากฏการณ์นี้ทำนายการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งทำให้แสงมีขั้ว อนุภาคนั้นมีมวลน้อยกว่าไฮโดรเจนพันเท่า และมีประจุเป็นลบ ก่อนที่ เจ เจ ทอมป์สัน จะค้นพบอิเล็กตรอน ผลจากงานวิจัยนี้ทำให้ ซีมาน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. ๑๙๐๒ ร่วมกับ เฮนดริก ลอเลนซ์

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติ (Normal Zeeman Effect)[แก้ไข]

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กของแหล่งกำเนิดแสง กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ในกรณีที่ค่าสปินรวมของอิเล็กตรอนเท่ากับ 0

ฮามิลโทเนียนรบกวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณภายในระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอก ซึ่งมีทิศชี้ไปแกน ดังนี้

โดยที่ คือบอห์รแมกนีตอน, คือ เงาของโมเมนตัมเชิงมุม บนแกน

ในอะตอมไฮโดรเจน ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน คือ

ปรากฏการณ์ซีมานไม่ปรกติ[แก้ไข]

ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอกซึ่งมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กภายในอะตอม ในกรณีที่ค่าสปินรวม (S) ของอิเล็กตรอนมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ทำให้เส้นสเปกตรัมในสนามแม่เหล็กมีความซับซ้อนขึ้น

เนื่องจากมีการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก จึงสามารถหาโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) จากผลดังกล่าวได้จาก

โดยที่ คือ Orbital angular momentum

เรื่องสปินรวมของเล็กตรอนไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็กจึงคิดผลจากสปินด้วย ซึ่งค่าที่ได้จะมีค่า g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน คูณอยู่ จะได้

โดยที่ คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)

ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ

เมื่อสนามแม่เหล็กภายนอก ในที่นี้มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าภายในที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุ จะได้ว่า เป็นตัวรบกวน (Perturbation) โดยจากความสัมพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมรวม คือ

จะได้ แทนลงไปใน จะได้

ซึ่งเราจะใช้ เนื่องจาก ไม่ได้มีค่าคงที่ แต่มีการหมุนควงรอบ เราจึงสามารถแยกออกเป็นสององค์ประกอบคือ ในแนวขนานกับ ซึ่งมีขนาดเป็น และในแนวตั้งฉากกับ ซึ่งมีขนาดเป็น โดยเมื่อ หมุนควงรอบ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ ในแนวตั้งฉากมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่าค่าเฉลี่ย จะมีขนาดเท่ากับ และมีทิศทางชี้ไปทางเดียวกับ จะได้

โดยที่ เป็นมุมระหว่าง กับ ซึ่งจะได้ว่า
จะได้

เมื่อกำหนดให้สนามแม่เหล็กภายนอก มีขนาดเป็น และมีทิศทางไปทางแกน จะได้ว่า

พิจารณาตัวดำเนินการ จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม หรือ จะได้

ดังนั้น จะได้ว่า

นั่นคือ

ทำการหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐานคือ เนื่องจากผลของสนามแม่เหล็กที่มีค่าน้อยกว่าสนามแม่เหล็กภายใน ทำให้โมเมนตัมเชิงมุมรวม ประมาณได้ว่าคงที่ จะได้ว่า

เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ

จะได้

สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน เสมอ จะได้ว่า

ซึ่งสังเกตว่าค่าของ จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ในกรณีที่เลขควอนตัมในฐานทั้งสองด้านมีค่าเท่ากันทุกตัวเท่านั้น จึงทำให้การใช้ฐาน ได้คำตอบอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ทแยง (Diagonal matrix) นั่นคือจะทำให้สมาชิกในตำแหน่งนอกแนวทแยงที่เลขควอนตัมบางตัวไม่เท่ากันมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหาค่าไอเกนหรือพลังงานในแต่ละสถานะได้ทันทีจากสมาชิกในแนวทแยง จึงได้ว่า

โดยที่ เป็นค่าคงที่เรียกว่า Bohr magneton ส่วน เรียกว่า Landé g-factors

ตัวอย่าง:การเปลี่ยนในอนุกรมไลมาณ-อัลฟ่า ของไฮโดรเจน (Lyman alpha transition in hydrogen)[แก้ไข]

ในกรณีนี้ เรื่องจากไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียว ค่าสปินรวม จึงไม่เท่ากับศูนย์ จึงเกิดปรากฏการณ์ซีมานแบบไม่ปรกติ โดยอิเล็กตรอนเปลี่ยนจาก

และ

เมื่อมีสนามแม่เหล็กอย่างอ่อนจากภายนอกเข้าไปกระทำ จะทำให้แยกระดับชั้นพลังงาน 1S1/2 และ 2P1/2 ไปยังสองระดับพลังงาน ที่มี ()และ 2P3/2 ไปยังสี่สถานะคือ (). โดยมี Landé g-factors สำหรับสามสถานะคือ


สำหรับ (j=1/2, l=0)
สำหรับ (j=1/2, l=1)
สำหรับ (j=3/2, l=1).

สำหรับภาพประกอบสามารถชมได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect#mediaviewer/File:Zeeman_p_s_doublet.svg