กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีการรบกวน/โครงสร้างละเอียด

จาก วิกิตำรา
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

โครงสร้างละเอียด (Fine Structure) เป็นโครงสร้างของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีความละเอียดกว่ารูปแบบเดิมซึ่งคิดเพียงผลของศักย์จากแรงคูลอมบ์ (Coulomb force) โดยผลจากการคิดพลังงานรวมจากการแก้ไขผ่านทางทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Relative Correction) และจากสนามแม่เหล็กที่โปรตรอนและอิเล็กตรอนสร้างขึ้นมาจากอันตรกิริยา (Spin–orbit coupling) อันถือว่าเป็นผลจากการรบกวน

Relativistic Correction[แก้ไข]

เนื่องจากว่าอิเล็กตรอนและโปรตรอนมีมวลที่เล็กมากๆและวิ่งโคจรระหว่างกันด้วยความเร็วสูงจนใกล้เคียงกับความเร็วแสง(วิ่งด้วยความเร่ง) หากจะใช้กฏของนิวตันมาอธิบายจะไม่ครอบคลุมในกรณีที่ความเร็วสูงจนใกล้ความเร็วแสง ทำให้เราจะต้องพิจารณาผลของสัมพัทธภาพด้วยค่าที่จะต้องแก้ไขคือ

โมเมนตัมตามสัมพัทธภาพ

พลังงานรวมตามสัมพัทธภาพ

โดยที่

เมื่อนำสมการโมเมนตัมและพลังงานรวมตามสัมพัทธภาพมายกกำลังสองแล้วนำมาลบกันจะได้ว่า

จากพลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ หรือ จะได้ว่า

จะได้พลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ เป็นดังนี้

จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor expansion) จะได้

ซึ่งจัดรูปจะได้

เนื่องจากพจน์ที่สามเป็นต้นไปมีค่าน้อยมาก เนื่องจาก จึงสามารถประมาณโดยการตัดพจน์ที่สามเป็นต้นไปทิ้ง จะได้

ดังนั้นแฮมิลโทเนียนรวมของระบบที่แก้ไขโดย Relative Correction คือ

ซึ่งแฮมิลโทเนียนที่เป็นพจน์ของการรบกวนระบบจาก Relative Correction คือ

ซึ่งเรียกว่า Perturbation Harmionian of Relative Correction

จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนจาก

เนื่องจากตัวดำเนินการ ไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน (Hermitian operators) แต่ตัวดำเนินการ เป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน จึงแยกตัวดำเนินการ ได้ออกมาเป็นดังนี้

จากสมการชโรดิงเจอร์

โดยที่ จะได้

ซึ่งย้ายข้างจะได้

จะได้ว่า

ซึ่งจัดรูปได้เป็น

ในกรณีของอะตอมไฮโดรเจน ดังนั้น จะได้ว่า

โดยที่จากการคำนวณ จะได้ และ
โดยที่จากการคำนวณ จะได้

ดังนั้น จะได้ว่า

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน และรัศมีของบอห์ร แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Relative Correction คือ

Spin-Orbit Coupling[แก้ไข]

Spin-Orbit Coupling เป็นผลเกิดขึ้นเนื่องจากอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบๆโปรตอน หรือโปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนในแต่ละกรอบอ้างอิง ทำให้เกิดอันตรกิริยาขึ้นระหว่างโปรตอนและอิเล็กตรอน อันตรกิริยาดังกล่าวเป็นผลทำให้เกิดสนามแม่เหล็กที่อิเล็กตรอนและโปรตอนสร้างขึ้น โดยถือว่าเป็นผล ของการรบกวนจึงต้องพิจารณาค่าการแก้ไข ในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กขึ้นตามกฏของบิโอต์-ชาวาร์ต ดังนี้

โดยที่โมเมนตัมเชิงมุมรอบนิวเคลียสในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนคือ

หรือ

แทนค่าลงในสมการของกฎบิโอต์-ชวาร์ต จะได้ว่า

จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ สภาพยอมของสุญญากาศ และค่าความสามารถซึมซับแม่เหล็กของสุญญากาศ

หรือ จะได้

โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) สามารถหาได้จากสมการ

โดยที่ คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)

แต่เนื่องจากในการทดลองจริงได้ผลไม่ตรงกับทฤษฎี จึงมีการคูณค่าที่ได้ด้วย g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน จะได้ว่า

ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ

เนื่องจากการประมาณดังกล่าว กรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะต้องมีการแก้ไขโดยวิธี Thomas Precession โดยการคูณพจน์ทางขวาด้วย จะได้ว่า

จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐาน (Basis) คือ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมรวม มีค่าคงที่ จะได้ว่า

พิจารณาตัวดำเนินการ จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม จะได้

ดังนั้น จะได้ว่า

เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ

จะได้

สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน เสมอ จะได้ว่า

จากการคำนวณ จะได้

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน และรัศมีของบอห์ร แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Spin-Orbit Coupling คือ

โครงสร้างละเอียดจากผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling[แก้ไข]

เมื่อนำผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling ที่ได้มารวมกัน จะได้พลังงานแก้ไขรวม

เนื่องจากเลขควอนตัมสปินของอิเล็กตรอน ค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมที่เป็นไปได้จึงเป็น ซึ่งเมื่อนำไปแทนในพลังงานแก้ไขรวม จะได้ว่า

จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน และนิยามของ Fine structure constant จะได้ ในรูปของ คือ

ดังนั้น จะได้พลังงานรวมของโครงสร้างละเอียด คือ