ดาราศาสตร์ทั่วไป/สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ในส่วนก่อนหน้า เราอภิปรายกันถึงตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก ในดาราศาสตร์ ตัวเลขขนาดมหาศาลนั้นเป็นเรื่องธรรมดา เป็นเหตุให้นักดาราศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์เมื่อต้องทำงานกับตัวเลขขนาดใหญ่มาก ๆ หรือเล็กมาก ๆ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็นระบบสำหรับการเขียนและการทำงานกับตัวเลขที่ช่วยให้สามารถจัดการกับตัวเลขขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ๆ ได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง ดาราจักรทางช้างเผือกประกอบด้วยวัสดุประมาณสามพันล้านล้านล้านล้านล้านล้านตัน มันเป็นจำนวนที่ค่อนข้างยุ่งยาก (นักดาราศาสตร์ไม่เคยเขียนสิ่งนี้ โดยพวกเขาจะบอกแทนว่า ทางช้างเผือกนั้นมีมวลมากกว่ามวลของดวงอาทิตย์หนึ่งล้านล้านเท่า ซึ่งง่ายกว่า โดยเราจะใช้ตัวเลขขนาดมหาศาลนี้ในการสาธิตของเรา) ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขจะได้ว่า

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ตัน

แต่นั่นดูเลวร้ายมาก สัญกรณ์วิทยาศาสตร์จะทำให้ตัวเลขนี้กะทัดรัดขึ้นและง่ายต่อการอ่าน คือ

3 × 10³⁹ ตัน

ตัวเลขนี้แสดงเป็นคำพูดได้ว่า "สามเท่าของสิบยกกำลังสามสิบเก้าตัน"

การใช้เลขยกกำลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวเลขนั้นเพิ่มขึ้นเร็วมาก ซึ่งช่วยให้สะดวกในการแสดงจำนวนที่มาก ๆ หรือน้อย ๆ โดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

การเขียนจำนวนอย่างถูกต้องในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์มีสองส่วน ส่วนแรกคือตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 และน้อยกว่า 10 (ซึ่งเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้) บางครั้งเรียกว่า แมนทิสซา (Mantissa) ส่วนที่สองคือเลขสิบพร้อมตัวเลขยกขึ้นที่เป็นจำนวนเต็ม เลขชี้กำลังของตัวเลขส่วนที่สองเรียกว่า กำลัง (Power) นี่คือตัวอย่างบางส่วนที่เขียนจำนวนเป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่ถูกต้อง

2 × 10¹⁸

-1.4 × 10²

7.656 × 10^-4

2.1 × 10⁰

ในทางกลับกับ นี่เป็นตัวอย่างของจำนวนซึ่งไม่ถูกต้องตามสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

0.1 × 10⁴ ผิด เพราะแมนทิสซาน้อยกว่า 1

12 × 10³ ผิด เพราะแมนทิสซามากกว่า 10

8.4 × 10^2.2 ผิด เพราะเลขยกกำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม

ระลึกไว้ว่า

10ⁿ = 10 × 10 × 10 × ... เป็นจำนวน n ครั้ง

หมายความว่าสิบถูกยกขึ้นไปกำลัง n เหมือนกับสิบคูณด้วยตัวมันเองเป็นจำนวน n ครั้ง ซึ่งมีค่าเดียวที่จะเท่ากับ 1 คือเมื่อ n เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น 10³ คือ 10 × 10 × 10 หรือ 1000 นั่นหมายความว่าจำนวนก่อนหน้านี้ของเราที่ 3 × 10³⁹ ตัน นั้นมีค่าเท่ากับ

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ตัน

โดยที่ 3 และตามด้วยเลขศูนย์อีก 39 ตัว จำนวนที่เขียนด้วยสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่มีกำลังเป็นลบนั้นสมนัยกับจำนวนที่น้อย ตัวอย่างเช่น 1 × 10⁻³ เขียนได้เป็น 0.001 ในสัญกรณ์สามัญ โดยทั่วไปคือ

10⁻ⁿ = 1/10 × 1/10 × 1/10 × ... เป็นจำนวน n ครั้ง

ขั้นตอนการแปลงเลขจำนวนมากในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็นสัญกรณ์มาตรฐาน โดยการเขียนจำนวนแมนทิสซาไว้ ค้นหาตำแหน่งของจุดทศนิยม และเลื่อนจุดทศนิยมนั้นไปตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ในที่นี้ เลขชี้กำลังเป็น 9 จึงย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาเก้าหลัก ขั้นตอนการแปลงเลขจำนวนน้อยในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็นสัญกรณ์มาตรฐาน โดยขั้นตอนนั้นคล้ายกับการแปลงเลขจำนวนมาก แต่จุดทศนิยมนั้นจะเลื่อนไปทางซ้ายแทน

ตั้งแต่สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ขึ้นอยู่กับกำลังของสิบ ทำให้การแปลงจำนวนจากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ไปสัญกรณ์มาตรฐานและในทางกลับกันนั้นง่ายขึ้น ในการแปลงจำนวนมาก (โดยกำลังเป็นบวก) จากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ไปเป็นสัญกรณ์มาตรฐาน อันดับแรก ระบุจุดทศนิยมลงไปในแมนทิสซา จากนั้นเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ในการแปลงจำนวนจากสัญกรณ์มาตรฐานไปเป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์นั้นให้ทำย้อนกลับขั้นตอนก่อนหน้านี้โดย ค้นหาจุดทศนิยมในจำนวน และเลื่อนไปจนกว่าจะเหลือค่าอย่างน้อยหนึ่ง 1 แต่น้อยกว่า 10 จำนวนหลักที่คุณย้ายจุดทศนิยมไปนั้นเป็นค่าของเลขชี้กำลัง ถ้าย้ายจุดทศนิยมไปทางซ้าย ให้ค่าชี้กำลังเป็นบวก ถ้าย้ายจุดทศนิยมไปทางขวา ให้ค่าชี้กำลังเป็นลบ

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์นั้นยังช่วยทำให้การคูณและหารทำได้ง่ายขึ้น การคูณเลขสองจำนวนในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ให้นำแมนทิสซาคูณกันและนำตัวชี้กำลังมาบวกกัน เช่น

(3 × 10⁴) × (4 × 10^-2)

= (3 × 4) × 10^{4 - 2}

= 12 × 10²

= 1.2 × 10³

ในบางกรณี ดังในตัวอย่างด้านบน คุณอาจจำเป็นต้องเลื่อนจุดทศนิยมอีกครั้งเพื่อให้ผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้องตามหลักของสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ โดยไม่ควรมีการเลื่อนจุดทศนิยมมากกว่าหนึ่งหลัก ในการหารจำนวนในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ให้นำแมนทิสซามาหารกันและนำเลขชี้กำลังมาลบกัน เช่น

${\frac {3\times 10^{4}}{4\times 10^{-2}}}$

$=(3/4)\times 10^{4+2}$

= 0.75 × 10⁶

= 7.5 × 10⁵

เช่นกัน ในตัวอย่างนี้ก็ต้องการการเลื่อนจุดทศนิยมและเปลี่ยนเลขชี้กำลัง

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทำให้การเปรียบเทียบจำนวนที่มีค่าต่างกันมากเป็นไปได้โดยง่าย เพราะเลขศูนย์ทั้งหมดถูกแทนเลขยกกำลังซึ่งง่ายต่อการอ่านค่า จำนวนที่มีเลขชี้กำลังมากกว่าย่อมมากกว่าจำนวนที่มีเลขชี้กำลังน้อยกว่าเสมอ

ถ้าหนึ่งในเลขชี้กำลังนั้นใหญ่กว่าเลขชี้กำลังอื่นโดยมากกว่าสอง ความแตกต่างของจำนวนทั้งสองย่อมมีขนาดใหญ่มาก การรู้ถึงความต่างมหาศาลระหว่างจำนวนสองจำนวนบางครั้งก็เป็นประโยชน์มาก ดังนั้นจึงมักใช้เวลาครู่หนึ่งในการทำความเข้าใจการพัฒนาความรู้สึกตามสัญชาตญาณ สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ก่อนที่จะลงมือทำ ในบางกรณี มันก็เป็นประโยชน์ในการแสดงให้เห็นว่าจำนวนหนึ่งมากกว่าอีกจำนวนเท่าไร สำหรับการประมาณค่า คุณต้องหาจำนวนความต่างของเลขยกกำลัง เช่น 10⁷ ใหญ่กว่า 10³ โดย 7 - 3 = 4

นักท่องเที่ยวบางคนในพิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์ธรรมชาติชิคาโกประหลาดใจในกระดูกไดโนเสาร์ หนึ่งในจำนวนนั้นถามพนักงานรักษาความปลอดภับว่า "คุณบอกได้ไหมว่ากระดูกไดโนเสาร์พวกนี้อายุเท่าไร"

พนักงานรักษาความปลอดภัยตอบว่า "พวกมันอายุ 73 ล้าน กับอีก 4 ปีและอีก 6 เดือน"

"ตัวเลขนั้นแน่นอนจังเลย" นักท่องเที่ยวกล่าว "คุณรู้อายุที่แม่นยำของมันได้อย่างไรกัน"

พนักงานรักษาความปลอดภัยตอบว่า "ครับ กระดูกไดโนเสาร์อายุ 73 ล้านปี เมื่อผมเริ่มทำงานที่นี่ ตอนนี้ผมทำงานมาได้ 4 ปีครึ่งแล้วครับ"

(จาก เว็บเพจเรื่องขบขันทางวิทยาศาสตร์ [1])

ในทางวิทยาศาสตร์ การวัดจะไม่สมบูรณ์แบบและเลขจะไม่แน่นอน ผลที่ตามมาคือ ทุก ๆ การวัดที่เราทำมีความไม่แน่นอนเข้ามาเกี่ยวข้อง สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทำให้จำนวนนั้นชัดเจนขึ้นมาให้รู้ สมมติว่านักบรรพชีวินวิทยาค้นพบกระดูกไดโนเสาร์โบราณและพบว่ามันมีอายุ 73 ล้านปีก่อน แน่นอนนักบรรพชีวินวิทยาไม่ทราบว่าอายุที่แน่นอนของมันเท่าไร อาจจะ 73,124,987 ปี แต่นักบรรพชีวินวิทยาจะรู้เฉพาะอายุภายใน 1 ล้านปีเท่านั้น ดังนั้นอายุจึงเขียนได้เป็น 73,000,000 ปี หรือ 7.3 × 10⁷ ปี คำพูดเหล่านี้แสดงให้เห็นว่ากระดูกอายุนั้นไม่ได้อายุ 73 ล้านปีแบบแน่นอน แต่เป็น 73 ล้านปี บวกหรือลบอีกล้านปี