ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก [1] แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน
, อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน
และ สถานะไอเกน
ได้จาก สมการชเรอดิงเงอร์ ด่อไปนี้
![{\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eca1ea0aad5273b0199c55bd4ea391cbe38bac)
เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต) ตัวห้อย
บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน
ให้
เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้
เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่
(ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง
(มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น
![{\displaystyle H=H_{0}+\lambda V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3170c1368eaaf6a13b343f2181c1791bcb621d3)
ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้
![{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f3baf6052437886cda18aaf417b16f9d4d087)
แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่
และ สถานะไอเกนใหม่
ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม
และ สถานะไอเกนเดิม
ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ
ได้ดังนี้
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb45f610d42075339e65393d8cafd1585cb0c017)
โดยที่
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}\\\left|n^{(k)}\right\rangle &={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8afbd4cba255c0828eff2a1e04893d091eb0a87)
เมื่อ
เข้าสู่
พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์
ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ
เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด
ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ
และ
ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้
![{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3e0de43957ba7af34e2301c30ff1b64d1fd97c)
กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ
เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
พจน์ที่มี
คือ
ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน
พจน์ที่มี
คือ
![{\displaystyle H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e78f4a1db557d5a1d5d05e504b9fb518971a85c)
ถ้าวาง
ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886d4d91f3b842d6b113fc5563c71423a7921d09)
ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ ค่าความคาดหวัง (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน
แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น
จากเดิม อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ
เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น
- ↑ Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). Modern quantum mechanics (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5