ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน $H_{0}$, อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน $E_{n}^{(0)}$ และ สถานะไอเกน $|n^{(0)}\rangle$ ได้จาก สมการชเรอดิงเงอร์ ด่อไปนี้

$H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots$

เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต) ตัวห้อย $0$ บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน

ให้ $V$ เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้ $\lambda$ เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่ $0$ (ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง $1$ (มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น

$H=H_{0}+\lambda V$

ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้

$\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่ $E_{n}$ และ สถานะไอเกนใหม่ $|n\rangle$ ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม $E_{n}^{(0)}$ และ สถานะไอเกนเดิม $|n^{(0)}\rangle$ ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ $\lambda$ ได้ดังนี้

${\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}$

โดยที่

${\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}\\\left|n^{(k)}\right\rangle &={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\end{aligned}}$

เมื่อ $\lambda$ เข้าสู่ $0$ พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์ ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ $\lambda$ เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด

ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ $E_{n}$ และ $|n\rangle$ ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้

$\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)$

กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ $\lambda$ เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า

พจน์ที่มี $\lambda ^{0}$ คือ

$H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน

พจน์ที่มี $\lambda ^{1}$ คือ

$H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle$

ถ้าวาง $\langle n^{(0)}|$ ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ

$E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle$

ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ ค่าความคาดหวัง (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน $|n^{(0)}\rangle$ แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น $\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$ จากเดิม อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ $|n^{(0)}\rangle$ เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น