ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม

</gallery>

คลื่นพื้นผิวที่ถูกรบกวน

ทฤษฎีการรบกวน

ปัญหาในทาง Quantum Mechanics ส่วนใหญ่ไม่ได้แก้โดยง่าย มีโจทย์น้อยมากที่สามารถแก้ได้โดยใช้สมาการ Shrodinger ดังนั้นในการแก้โจทย์ทั่วไปต้องใช้การประมาณเข้ามาช่วยในการแก้ไขปัญหาดั้งกล่าวโดยทฤษฎีที่เราจะนำมาช่วยในการศึกษาของบทนี้คือ ทฤษฎีเพอร์เทอร์เบชัน( Perturbation ), ทฤษฏีการรบกวน (Perturbation theory) เป็นทฤษฏีที่ใช้ในการประมาณค่าพลังงานเเละสถานะไอเกนของระบบทางกลศาสตร์ควอนตัมที่มีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์เกินกว่าที่จะเเก้หาคำตอบเเบบแม่นตรงได้โดยหลักการเเล้วเมื่อเราทราบแฮมิลโทเนียนของระบบก็จะสามารถคำนวณค่าพลังงานเเละสถานะที่เป็นไปได้จากสมการชโรดิงเจอร์ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงนั้น ระบบส่วนใหญ่มีความซับซ้อนและมีปัจจัยรบกวนค่อนข้างมาก ทำให้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีความยุ่งยากหรืออาจแก้ไม่ได้เลย ถึงเเม้ว่าเราจะสามารถใช้ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical methods) ผนวกกับความสามารถของคอมพิวเตอร์มาช่วยในการหาคำตอบเชิงตัวเลขของปัญหาเหล่านี้ได้ก็ตาม เเต่ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้อยู่ในรูปแบบเชิงวิเคราะห์ (Analytic solution) จึงทำให้ยากต่อการวิเคราะห์ในแง่ของการแปรค่าพารามิเตอร์ต่างๆที่เกี่ยวข้อง ในทางกลับกันมีเพียงบางปัญหาเท่านั้นที่เราสามารถหาผลเฉลยเชิงวิเคราะห์ออกมาได้ เช่น ปัญหาอนุภาคในบ่อศักย์สูงอนันต์ (Infinite square well) บ่อศักย์เเบบฮาร์โมนิคอย่างง่าย (Simple Harmonic potential) หรือปัญหาของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียว เป็นต้น ถ้าหากมีปัจจัยภายนอกมารบกวนระบบ เช่น อะตอมไฮโดรเจนที่อยู่ในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ก็จะมีพจน์ทางคณิตศาสตร์อันเนื่องจากอันตรกิริยาระหว่างอะตอมและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเพิ่มเติมจากเดิม เป็นผลให้ไม่สามารถแก้หาคำตอบตรงๆได้ ดังนั้นทฤษฏีที่ใช้ในการประมาณคำตอบจึงมีประโยชน์อย่างยิ่ง

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา (Time-Independent Perturbation Theory) เป็นกรณีการรบกวนที่แฮมิลโทเนียนรบกวนคงที่ไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา สามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลักๆคือ

1. ทฤษฎีการรบกวนของสถานะไม่ทับซ้อน (Non-degenerate state) สำหรับกรณีที่แต่ละสถานะมีพลังงานต่างกัน

2. ทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อน (Degenerate state) สำหรับกรณีที่มีสถานะแตกต่างกันแต่มีพลังงานเท่ากันในแต่ละสถานะ

โดยหลักการของทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลาจะแยกตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนออกเป็นสองส่วน ดังนี้

$H=H_{0}+\lambda V$

โดยที่ $H_{0}$ เป็นแฮมิลโทเนียนของระบบที่ไม่ถูกรบกวน (Unperturbed system) ซึ่งสามารถหาสถานะได้จากการแก้สมการชโรดิงเจอร์โดยตรง ส่วน $V$ เป็นแฮมิลโทเนียนของศักย์ที่รบกวนระบบเดิม ทำให้ระบบถูกรบกวน (Perturbed system) ซึ่งการรบกวนมีขนาดน้อยมากเมื่อเทียบกับ $H_{0}$ ส่วน $\lambda V$ เป็นค่าคงที่ที่สมมุติขึ้นมาเพื่อแสดงถึงอันดับในการประมาณค่าว่าประมาณถึงอันดับที่ละเอียดเพียงใด ทำให้สามารถกำหนดความละเอียดในการประมาณค่าได้

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา: สถานะไม่ทับซ้อน

ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

$E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle$

-- รายละเอียด --

สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

$\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle m^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$

-- รายละเอียด --

ค่าการแก้ไขอันดับที่สอง

ในกรณีการรบกวนอันดับสอง ค่าพลังงาน และฟังก์ชันคลื่นคือ

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})$

สถานะแก้ไขอันดับที่สอง

${\begin{aligned}|n\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}$

-- รายละเอียด --

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา: สถานะทับซ้อน

ค่าพลังงานและสถานะแก้ไข

-- รายละเอียด --

ทฤษฎีการรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา: ตัวอย่างปัญหา

โครงสร้างละเอียด (Fine Structure)

เป็นโครงสร้างของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีความละเอียดกว่ารูปแบบเดิมโดยผลจากการคิดพลังงานรวมจากการแก้ไขผ่านทางทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Relative Correction) และจากสนามแม่เหล็กที่โปรตรอนและอิเล็กตรอนสร้างขึ้นมาจากอันตรกิริยา (Spin–orbit coupling)

ปรากฏการณ์ซีมาน (Zeeman Effect)

ผลจากสนามแม่เหล็กต่ำ ๆ ทำให้เกิดการแยกระดับชั้นพลังงานของ โครงสร้างแบบละเอียด

โครงสร้างสุดละเอียด (Hyperfine Structure)

ปรากฏการณ์โครงสร้างสุดละเอียด ( Hyperfine Structure ) เป็นปรากฏการณ์ซึ่งนำไปสู่การเลื่อน และแยกออกของระดับพลังงานในอะตอม,โมเลกุล หรือไอออน แต่พลังงานที่เปลี่ยนไปนี้มีค่าเล็กกว่าโครงสร้างแบบละเอียด ซึ่งเกิดจากอัตรกิริยาระหว่างโมเมนตัมรวมของอิลเล็กตรอน กับ สปินของนิวเคลียส

ทฤษฎีการรบกวนที่ขึ้นกับเวลา

-- รายละเอียด -- ในทฤษฎีการรบกวนนี้ในเชิงปฏิบัติเราสามารถเรียกได้ว่าเป็น "สถิติเชิงควอนตัม (Quantum static)" ซึ่งในพลังงานจลน์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสามารถเขียนในรูป V(r,t)=V(r) และในที่นี้จะพิจารณาค่าพลังงานจลน์ที่ขึ้นกับเวลาจากสมการชโรดิงเจอร์ ดังนี้

$H\Psi =i{\bar {h}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$

สามารถใช้สมการแยกตัวแปร (separation of variable) ในการแก้หาสมการจะได้

$\Psi (r,t)=\psi (r)e^{\frac {-iEt}{\bar {h}}}$

ที่ $\psi (r)$ สามารถหาค่าได้จากสมการชโรดิงเจอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

$H\Psi =E\Psi$

เพราะว่าตัวดำเนินการที่ขึ้นกับเวลาที่หาได้จากสมการแยกตัวแปรนั้น สามารถจัดให้อยู่ในรูปสมการเอ็กซ์โปเนลเชียล ($e^{\frac {-iEt}{\bar {h}}}$) เมื่อไม่คิดปริมาณทางกายภาพแล้ว $\mid \Psi \mid ^{2}$ ทุกๆความน่าจะเป็นและค่าคาดหวังจะเป็นค่าคงที่ในเทอมของเวลา จากสมการเชิงเส้นของสถานะหยุดนิ่งนี้ จะสามารถบอกได้ว่าเป็น wave function ทุกค่าจะอยู่ในเทอมที่เกี่ยวข้องกับเวลา แม้ว่าพลังงานที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นของแต่ละค่าจะเป็นค่าคงที่ก็ตาม

ถ้ามีการเปลี่ยนแปลงระหว่างชั้นพลังงานหนึ่งกับอีกชั้นหนึ่ง พลังงานจลน์นั้นก็จะขึ้นกับเวลา เละมีค่าไม่กี่ค่าที่สามารถหาได้จากปัญหาในการเคลื่อนที่เชิงควอนตัม อย่างไรก็ตาม

ถ้าเทอมที่เกี่ยวข้องกับเวลาของฮามิโตเนียลนั้นเล็กมากๆเมื่อเทียบกับเทอมที่ไม่เกี่ยวข้องกับเวลา ก็จะเสมือนให้เทอมที่เกี่ยวข้องกับเวลานั้นเป็น "เทอมที่ถูกรบกวน (perturbation term)"

การเปล่งและการดูดกลืนรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า

   คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเกิดจากการเหนี่ยวนำกันระหว่างสนามแม่เหล็กกับสนามไฟฟ้า โดยสนามแต่ละแบบมีการสั่นไปมาในทิศทางที่ตั้งฉากกับทิศทางการแผ่ของคลื่น ถ้าหากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีความยาวคลื่นยาวมากเมื่อเทียบกับขนาดของอะตอม เราสามารถประมาณว่าค่าของสนามไฟฟ้าไม่มีการแปรผันตามตำแหน่ง (spatial variation) แต่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เราจะพิจารณาแสงเอกรงค์ (monochromatic light; แสงความถี่ค่าเดียว) และโพลาไรซ์ในทิศทางตามแกนแฮมิลโทเนียนที่เกิดจากอันตรกิริยาระหว่างแสงกับอะตอม
   ในกะบวนการเปล่งแบบกระตุ้น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้รับพลังงาน   จากอะตอม เรามักจะกล่าวว่า “โฟตอนเข้าไปหนึ่งตัว ออกมาสองตัว” กระบวนการนี้จึงเป็นการ “ขยายแสง (light amplification)”  ลองจินตนาการดูว่าถ้ามีอะตอมจำนวนมากจำนวนหนึ่งที่อยู่ในสถานะกระตุ้นระดับเดียวกันในขวดพิเศษใบหนึ่ง จากนั้นเรายิงโฟตอนตัวหนึ่งที่มีความถี่สมนัยกับความถี่ของการเปลี่ยนสถานะพลังงานของอะตอมเข้าไปตกกระทบอะตอมตัวใดตัวหนึ่ง การเปล่งแบบกระตุ้นจะเกิดขึ้นกับอะตอมตัวแรกทำให้ได้โฟตอนออกมา 2 ตัว โฟตอน 2 ตัวนี้ตกกระทบอะตอมตัวอื่นต่อไปได้โฟตอนออกมาเป็น 4 ตัว จากนั้นโฟตอน 4 ตัวตกกระทบอะตอมอื่แล้วได้โฟตอนเพิ่มขึ้นอีก ต่อเนื่องเป็นโฟตอนออกมา โฟตอนเหล่านี้มีความถี่ เฟส และโพลาไรเซชันเดียวกัน เกิดเป็นแสงอาพันธ์ความเข้มสูง และนี่ก็คือหลักการพื้นฐานของเลเซอร์ (LASER) ซึ่งย่อมาจาก “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” แปลว่า การขยายแสงด้วยการเปล่งรังสีแบบกระตุ้น เพื่อทำให้เกิดการเปล่งในลักษณะนี้จะต้องทำการกระตุ้นอะตอมให้ไอยู่ในสถานะกระตุ้นมีจำนวนมากกว่าอะตอมที่อยู่ในสถานะพื้นมากๆ เรียกว่า การผกผันประชากร (population inversion) 
   มีกลไกการเปล่งโฟตอนอีกแบบหนึ่ง เรียกว่า การเปล่งแบบสปอนเทนียส (Spontaneous emission) เมื่ออะตอมถูกกระตุ้นด้วยแสงให้ไปอยู่ในสถานะกระตุ้น อะตอมสามารถกลับลงมาอยู่ในสถานะพื้นได้เองโดยการปลดปล่อยโฟตอนที่มีพลังงานสมนัยกับผลต่างของระดับพลังงาน โดยไม่ต้องถูกกระตุ้นด้วยแสง  

ตัวอย่างปัญหา

1.พิจารณาแบบจำลองอะตอมที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียวและนิวเคลียสมีขนาดไม่เป็นศูนย์หากแต่มีลักษณะเป็นทรงกลมรัศมีRและมีประจุบวกของโปรตอนZตัวกระจายสม่ำเสมอทั่วนิวเคลียส จงประมาณพลังงานสถานะพื้นของอะตอมตามแบบจำลองนี้

2.อนุภาคประจุเคลื่อนที่อยู่ในบ่อศักย์แบบฮาร์โมนิค (Harmonic potential) เมื่อป้อนสนามไฟฟ้าคงที่Eแก่ระบบในทิศทาง+x จงประมาณการเลื่อนของพลังงานในสถานะพื้น

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

Perturbation Theory

Time Independent

1.Calculate the energy of nth excited state to first – order perturbation for a one-dimensional box potential of length 2L, with walls at x= -L and x = L, which is modified at the bottom by the following perturbations with V0 ≤< 1

  a.) Vp(x) =    - V0  ;    –L ≤x ≤L  or   0   ; elsewhere  
             

  b.) Vp(x) =  - V0  ;   –L/2 ≤x ≤L/2  or   0   ; elsewhere