ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าพลังงานแก้ไข

ทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อน

พิจารณาระบบที่มีฮามิลโทเนียนในรูป

${\widehat {H}}={\widehat {H_{0}}}+{\widehat {{H}'}}$

โดย ${\widehat {{H}'}}$ คือ การรบกวนขนาดเล็กเมื่อเทียบกับฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน ${\widehat {H_{0}}}$

ในที่นี้พิจารณากรณีที่ ${\widehat {H_{0}}}$ให้สถานะทับซ้อนกันอยู่มากกว่าหรือเท่ากับสองสถานะ โดยสาเหตุของการซ้อนทับกันของสถานะเกิดจากการที่พลังงานศักย์ของระบบทางควอนตัมนั้นมีสมมาตร ดังนั้นการทำลายสมมาตรลงจึงทำให้สถานะทับซ้อนนั้นแยกออกจากกันนั้นเอง สมมติว่า ที่ระดับพลังงานหนึ่งของ${\widehat {H_{0}}}$มีสถานะทับซ้อนกับอยู่ $q\geq 2$ สถานะ ถ้าสมมาตรที่ทำให้เกิดการซ้อนทับหายไปโดย ${\widehat {{H}'}}$แล้ว พลังงานของสถานะนั้นๆ จะแยกออกจากกันเป็น $q$ ระดับชั้นที่แตกต่างกัน ดังนั้นเป้าหมายหลักของทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อนคือการคำนวณค่าพลังงานและฟังก์ชันสถานะใหม่หลังการรบกวนด้วย ${\widehat {{H}'}}$ ให้ความหมายเพิ่ม คือในระบบทางควอนตัม ที่มีสถานะสมดุลของพลังงานศักษ์ ก็จะมีหลายฟังชันก์คลื่น ซึ่งแต่ละฟังก์ชันก็ให้ค่าของพลังงานศักษ์ ต่างกัน แต่ก็มีบ้างระบบที่มีระดับพลังงานศักษ์ค่าเดียวกัน ทั้งที่ฟังชันของคลื่นของระบบเป็นคนละค่า ยกตัวอย่างเป็น บ่อศักษ์ Harmonic เป็นต้น เนื้อหา ถ้าเรารบกวนระบบที่มีค่าของสถานะพลังงานทับซ้อนกันเราสามารถทำได้เช่นนี้(ซึ่งต่างจากการแก้หาฮามมิโตเนียนของแบบค่าพลังงานไม่ซ้ำหรือ non degenerate) H ̂=H ̂_0+H ̂^' (ฮามิเนียนใหม่=ฮามิโตเนียนก่อนรบกวน+ฮามิโตเนียนหลังรบกวน)

พิจารณากรณีการรบกวนของสถานะแบบไม่ทับซ้อน เราสามารถกระจายฟังก์ชันคลื่นของการแก้ไขอันดับหนึ่งของ ${\widehat {H}}$ ในรูปผลรวมของไอเกนฟังก์ชันของ ${\widehat {H_{0}}}$ ดังนี้

$\varphi _{n}^{(1)}=\sum _{i}^{}c_{ni}\varphi _{i}^{(0)}$ $,q\geq 2$

โดยที่ $c_{ni}={\frac {H_{in}^{'}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}}$ และ $H_{in}^{'}=\left\langle \varphi _{i}^{(0)}\left|H^{'}\right|\varphi _{n}^{(0)}\right\rangle$

ถ้า ระดับพลังงานดังกล่าวมีทั้งหมด $q$ สถานะทับซ้อน นั้นคือ

$E_{1}^{(0)}=E_{2}^{(0)}=E_{3}^{(0)}=...=E_{q}^{(0)}$

จะทำให้ $c_{ni}$ หาค่าไม่ได้ สำหรับ $n,i\leq q$ ด้วยเหตุนี้จำเป็นจะต้องสร้างฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อน $({\overline {\varphi _{n}}})$ ขึ้นมาจาก $\left\{\varphi _{n}^{(0)}\right\}$ที่ทำให้เมทริกซ์ย่อย $H_{in}^{'}$เป็นเมทริกซ์แนวทแยง

ในการทำให้อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น กำหนดให้ฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อนคือ

${\overline {\varphi _{n}}}=\sum _{i}^{}c_{ni}\varphi _{i}^{(0)}...................................................(1)$

โดยที่ $\left\langle {\overline {\varphi _{n}}}\left|H^{'}\right|{\overline {\varphi _{p}}}\right\rangle =H_{in}^{'}\ ,(n,p\leq q).........................................................(2)$

เมื่อรวม$\left\{\varphi _{i}^{(0)},i\geq q\right\}$ และ$\left\{{\overline {\varphi _{n}}},n\leq q\right\}$ เข้าด้วยกันจะได้เซตของฐานใหม่คือ

$B=\left\{{\overline {\varphi _{1}}},{\overline {\varphi _{2}}},...,{\overline {\varphi _{q}}},\varphi _{q+1}^{(0)},\varphi _{q+2}^{(0)},...\right\}$

โดย$B$ ทำให้เมทริกซ์ $H{'}$อยู่ในรูปแนวทแยงคือ

$H^{'}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}H_{11}^{'}&0&...&0\\0&H_{22}^{'}&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\\0&\cdots &\cdots &H_{qq}^{'}\end{pmatrix}}&{\begin{matrix}H_{1,q+1}^{'}&...\\\vdots &\\\vdots &\\&\end{matrix}}\\{\begin{matrix}H_{q+1,1}^{'}&\cdots &\cdots &&\\\vdots &&&&\end{matrix}}&\ddots \end{pmatrix}}..........................................................(3)$

การหาค่าแก้ไขพลังงานและฟังก์ชันคลื่นอันดับที่หนึ่ง

จากสมาการ ชเรอดิงเงอร์ สำหรับฮามิลโทเนียน ${\widehat {H}}$ คือ

${\widehat {H}}\varphi _{n}=({\widehat {H_{0}}}+{\widehat {{H}'}})\varphi _{n}=E_{n}\varphi _{n}........................................................(4)$

แทน $\left.{\begin{matrix}\varphi _{n}={\overline {\varphi _{n}}}\\E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{'}\end{matrix}}\right\}n\leq q$ ลงในสมาการที่ 4 จะได้

$H^{'}{\overline {\varphi _{n}}}=E_{n}^{'}{\overline {\varphi _{n}}}..............................................................(5)$

จากการที่เราสามารถสร้าง $\left\{{\overline {\varphi _{n}}}\right\}$ ให้เป็นเซตของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกัน (Schmidt orthogonalization procedure) ร่วมด้วยกับสมาการที่ 5 จะได้ว่า

$E_{n}^{'}=\left\langle {\overline {\varphi _{n}}}\left|H^{'}\right|{\overline {\varphi _{n}}}\right\rangle =H_{nn}^{'}\ ,(n\leq q)$

เป็นสมาชิกแนวทแยงของเมทริกซ์ ${\widehat {{H}'}}$

ในการสร้าง $\left\{{\overline {\varphi _{n}}}\right\}$ ที่ทำให้เมทริกซ์ ${\widehat {{H}'}}$ อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น เราแทนสมาการที่ 1 ลงในสมาการที่ 5

$H^{'}\sum _{i=1}^{q}a_{ni}\left|\varphi _{n}^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{'}\sum _{i=1}^{q}a_{ni}\left|\varphi _{n}^{(0)}\right\rangle$

คูณทางซ้ายของสมาการด้วย$\left\langle \varphi _{n}^{(0)}\right|$ จะได้ว่า

$\sum _{i=1}^{q}(H_{pi}^{'}-E_{n}^{'}\delta _{pi})a_{ni}=0\ ,(n,p\leq q).......................................................(6)$

สำหรับแต่ละ $p$เมื่อให้$n$และ $q$ คงที่ เราสามารถเขียนสมาการที่ 6 ให้รูปของผลคูณของเมทริกซ์ดังนี้

${\begin{pmatrix}H_{11}^{'}-E_{n}^{'}&H_{12}^{'}&H_{13}^{'}&\cdots &H_{1q}^{'}\\H_{21}^{'}&H_{22}^{'}-E_{n}^{'}&H_{23}^{'}&\cdots &H_{2q}^{'}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\H_{q1}^{'}&H_{q2}^{'}&H_{q3}^{'}&\cdots &H_{qq}^{'}-E_{n}^{'}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{n1}\\a_{n2}\\\vdots \\a_{nq}\end{pmatrix}}=0......................................................(7)$

เงื่อนไขที่ทำให้ $\left\{a_{ni}\right\}$ไม่เป็นเป็นศูนย์ทั้งหมดพร้อมกัน (trivial solution) คือ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์

$det\left|(H_{pi}^{'}-E_{n}^{'}\delta _{pi})\right|=0.......................................................(8)$

คำตอบของสมาการที่ 8 คือค่าแก้พลังงานอันดับหนึ่ง$({E_{n}}')$ที่ต่างกันทั้งหมด $q$ ค่า พร้อมทั้งเป็นค่าไอเกนของสมาการที่ 5 และเป็นสมาชิกในแนวทแยงของเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ที่ 3 เมื่อแทนค่า${E_{n}}'$แต่ละค่าลงในสมาการ 7 เราสามารถแก้หาค่า $\left\{a_{ni}\right\}$ได้และนำไปสู่ $\left\{{\overline {\varphi _{n}}}\right\}$โดยสมาการที่ 1

ที่มา