ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าพลังงานแก้ไข

จาก วิกิตำรา
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา


ทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อน


พิจารณาระบบที่มีฮามิลโทเนียนในรูป



โดย คือ การรบกวนขนาดเล็กเมื่อเทียบกับฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน

ในที่นี้พิจารณากรณีที่ ให้สถานะทับซ้อนกันอยู่มากกว่าหรือเท่ากับสองสถานะ โดยสาเหตุของการซ้อนทับกันของสถานะเกิดจากการที่พลังงานศักย์ของระบบทางควอนตัมนั้นมีสมมาตร ดังนั้นการทำลายสมมาตรลงจึงทำให้สถานะทับซ้อนนั้นแยกออกจากกันนั้นเอง สมมติว่า ที่ระดับพลังงานหนึ่งของมีสถานะทับซ้อนกับอยู่ สถานะ ถ้าสมมาตรที่ทำให้เกิดการซ้อนทับหายไปโดย แล้ว พลังงานของสถานะนั้นๆ จะแยกออกจากกันเป็น ระดับชั้นที่แตกต่างกัน ดังนั้นเป้าหมายหลักของทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อนคือการคำนวณค่าพลังงานและฟังก์ชันสถานะใหม่หลังการรบกวนด้วย ให้ความหมายเพิ่ม คือในระบบทางควอนตัม ที่มีสถานะสมดุลของพลังงานศักษ์ ก็จะมีหลายฟังชันก์คลื่น ซึ่งแต่ละฟังก์ชันก็ให้ค่าของพลังงานศักษ์ ต่างกัน แต่ก็มีบ้างระบบที่มีระดับพลังงานศักษ์ค่าเดียวกัน ทั้งที่ฟังชันของคลื่นของระบบเป็นคนละค่า ยกตัวอย่างเป็น บ่อศักษ์ Harmonic เป็นต้น เนื้อหา ถ้าเรารบกวนระบบที่มีค่าของสถานะพลังงานทับซ้อนกันเราสามารถทำได้เช่นนี้(ซึ่งต่างจากการแก้หาฮามมิโตเนียนของแบบค่าพลังงานไม่ซ้ำหรือ non degenerate) H ̂=H ̂_0+H ̂^' (ฮามิเนียนใหม่=ฮามิโตเนียนก่อนรบกวน+ฮามิโตเนียนหลังรบกวน)

พิจารณากรณีการรบกวนของสถานะแบบไม่ทับซ้อน เราสามารถกระจายฟังก์ชันคลื่นของการแก้ไขอันดับหนึ่งของ ในรูปผลรวมของไอเกนฟังก์ชันของ ดังนี้



โดยที่ และ


ถ้า ระดับพลังงานดังกล่าวมีทั้งหมด สถานะทับซ้อน นั้นคือ



จะทำให้ หาค่าไม่ได้ สำหรับ ด้วยเหตุนี้จำเป็นจะต้องสร้างฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อน ขึ้นมาจาก ที่ทำให้เมทริกซ์ย่อย เป็นเมทริกซ์แนวทแยง


ในการทำให้อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น กำหนดให้ฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อนคือ



โดยที่


เมื่อรวม และ เข้าด้วยกันจะได้เซตของฐานใหม่คือ



โดย ทำให้เมทริกซ์ อยู่ในรูปแนวทแยงคือ



การหาค่าแก้ไขพลังงานและฟังก์ชันคลื่นอันดับที่หนึ่ง


จากสมาการ ชเรอดิงเงอร์ สำหรับฮามิลโทเนียน คือ



แทน ลงในสมาการที่ 4 จะได้



จากการที่เราสามารถสร้าง ให้เป็นเซตของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกัน (Schmidt orthogonalization procedure) ร่วมด้วยกับสมาการที่ 5 จะได้ว่า



เป็นสมาชิกแนวทแยงของเมทริกซ์


ในการสร้าง ที่ทำให้เมทริกซ์ อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น เราแทนสมาการที่ 1 ลงในสมาการที่ 5



คูณทางซ้ายของสมาการด้วย จะได้ว่า



สำหรับแต่ละ เมื่อให้และ คงที่ เราสามารถเขียนสมาการที่ 6 ให้รูปของผลคูณของเมทริกซ์ดังนี้



เงื่อนไขที่ทำให้ ไม่เป็นเป็นศูนย์ทั้งหมดพร้อมกัน (trivial solution) คือ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์



คำตอบของสมาการที่ 8 คือค่าแก้พลังงานอันดับหนึ่งที่ต่างกันทั้งหมด ค่า พร้อมทั้งเป็นค่าไอเกนของสมาการที่ 5 และเป็นสมาชิกในแนวทแยงของเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ที่ 3 เมื่อแทนค่าแต่ละค่าลงในสมาการ 7 เราสามารถแก้หาค่า ได้และนำไปสู่ โดยสมาการที่ 1


ที่มา [1]

  1. Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanincs, 4 Edition, Chapter 13, P. 692-696