ทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อน
พิจารณาระบบที่มีฮามิลโทเนียนในรูป
โดย
คือ การรบกวนขนาดเล็กเมื่อเทียบกับฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน
ในที่นี้พิจารณากรณีที่
ให้สถานะทับซ้อนกันอยู่มากกว่าหรือเท่ากับสองสถานะ โดยสาเหตุของการซ้อนทับกันของสถานะเกิดจากการที่พลังงานศักย์ของระบบทางควอนตัมนั้นมีสมมาตร
ดังนั้นการทำลายสมมาตรลงจึงทำให้สถานะทับซ้อนนั้นแยกออกจากกันนั้นเอง สมมติว่า ที่ระดับพลังงานหนึ่งของ
มีสถานะทับซ้อนกับอยู่
สถานะ
ถ้าสมมาตรที่ทำให้เกิดการซ้อนทับหายไปโดย
แล้ว พลังงานของสถานะนั้นๆ จะแยกออกจากกันเป็น
ระดับชั้นที่แตกต่างกัน
ดังนั้นเป้าหมายหลักของทฤษฎีการรบกวนของสถานะทับซ้อนคือการคำนวณค่าพลังงานและฟังก์ชันสถานะใหม่หลังการรบกวนด้วย
ให้ความหมายเพิ่ม คือในระบบทางควอนตัม ที่มีสถานะสมดุลของพลังงานศักษ์ ก็จะมีหลายฟังชันก์คลื่น ซึ่งแต่ละฟังก์ชันก็ให้ค่าของพลังงานศักษ์ ต่างกัน แต่ก็มีบ้างระบบที่มีระดับพลังงานศักษ์ค่าเดียวกัน ทั้งที่ฟังชันของคลื่นของระบบเป็นคนละค่า ยกตัวอย่างเป็น บ่อศักษ์ Harmonic เป็นต้น
เนื้อหา ถ้าเรารบกวนระบบที่มีค่าของสถานะพลังงานทับซ้อนกันเราสามารถทำได้เช่นนี้(ซึ่งต่างจากการแก้หาฮามมิโตเนียนของแบบค่าพลังงานไม่ซ้ำหรือ non degenerate)
H ̂=H ̂_0+H ̂^' (ฮามิเนียนใหม่=ฮามิโตเนียนก่อนรบกวน+ฮามิโตเนียนหลังรบกวน)
พิจารณากรณีการรบกวนของสถานะแบบไม่ทับซ้อน เราสามารถกระจายฟังก์ชันคลื่นของการแก้ไขอันดับหนึ่งของ
ในรูปผลรวมของไอเกนฟังก์ชันของ
ดังนี้
โดยที่
และ
ถ้า ระดับพลังงานดังกล่าวมีทั้งหมด
สถานะทับซ้อน นั้นคือ
จะทำให้
หาค่าไม่ได้ สำหรับ
ด้วยเหตุนี้จำเป็นจะต้องสร้างฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อน
ขึ้นมาจาก
ที่ทำให้เมทริกซ์ย่อย
เป็นเมทริกซ์แนวทแยง
ในการทำให้อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น กำหนดให้ฐานใหม่สำหรับสถานะทับซ้อนคือ
โดยที่
เมื่อรวม
และ
เข้าด้วยกันจะได้เซตของฐานใหม่คือ
โดย
ทำให้เมทริกซ์
อยู่ในรูปแนวทแยงคือ
การหาค่าแก้ไขพลังงานและฟังก์ชันคลื่นอันดับที่หนึ่ง
จากสมาการ ชเรอดิงเงอร์ สำหรับฮามิลโทเนียน
คือ
แทน
ลงในสมาการที่ 4 จะได้
จากการที่เราสามารถสร้าง
ให้เป็นเซตของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกัน (Schmidt orthogonalization procedure) ร่วมด้วยกับสมาการที่ 5 จะได้ว่า
เป็นสมาชิกแนวทแยงของเมทริกซ์
ในการสร้าง
ที่ทำให้เมทริกซ์
อยู่ในรูปแนวทแยงนั้น เราแทนสมาการที่ 1 ลงในสมาการที่ 5
คูณทางซ้ายของสมาการด้วย
จะได้ว่า
สำหรับแต่ละ
เมื่อให้
และ
คงที่ เราสามารถเขียนสมาการที่ 6 ให้รูปของผลคูณของเมทริกซ์ดังนี้
เงื่อนไขที่ทำให้
ไม่เป็นเป็นศูนย์ทั้งหมดพร้อมกัน (trivial solution) คือ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์
คำตอบของสมาการที่ 8 คือค่าแก้พลังงานอันดับหนึ่ง
ที่ต่างกันทั้งหมด
ค่า พร้อมทั้งเป็นค่าไอเกนของสมาการที่ 5 และเป็นสมาชิกในแนวทแยงของเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ที่ 3 เมื่อแทนค่า
แต่ละค่าลงในสมาการ 7 เราสามารถแก้หาค่า
ได้และนำไปสู่
โดยสมาการที่ 1
ที่มา [1]
- ↑ Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanincs, 4 Edition, Chapter 13, P. 692-696