ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ที่มาของสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจากสถานะที่ไม่ถูกรบกวน เนื่องจากสถานะที่ไม่ถูกรบกวนนั้นเป็นไอเกนเวกเตอร์ ดังนั้นสถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่งสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน

$\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle$

จากสมการของ ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง สำหรับพจน์ที่มี $\lambda ^{1}$ คือ

$H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle$

ซึ่งจัดรูปสมการได้เป็นดังนี้

$\left(H_{0}-E_{n}^{(0)}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left(V-E_{n}^{(1)}\right)\left|n^{(0)}\right\rangle$

เมื่อนำ $|n^{(1)}\rangle$ ซึ่งเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน แทนลงไปจะได้ว่า

$\left(H_{0}-E_{n}^{(0)}\right)\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left(V-E_{n}^{(1)}\right)\left|n^{(0)}\right\rangle$

จากนั้น ตัวดำเนินการ $H_{0}$ กระทำกับสถานะ $\left|m^{(0)}\right\rangle$ ใดๆ จะได้

$\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left(V-E_{n}^{(1)}\right)\left|n^{(0)}\right\rangle$

และนำ $\langle l^{(0)}|$ มาทำผลคูณภายในกับทั้งสมการได้เป็น

$\sum _{m\not =n}\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left\langle l^{(0)}\right.\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left\langle l^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left\langle l^{(0)}\right.\left|n^{(0)}\right\rangle$

เมื่อ $l\not =m$ ผลคูณภายในของสถานะต่างๆ จะมีค่าเป็น 0 ยกเว้น $l=m$ ตามสมบัติเชิงตั้งฉาก (Orthogonality) จะได้

$\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left\langle m^{(0)}\right.\left|m^{(0)}\right\rangle \left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left\langle m^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(0)}\right\rangle$

ซึ่งจากสมบัติเชิงตั้งฉาก จะได้ว่า

$\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =-\left\langle m^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle$

ซึ่งสามารถจัดรูปได้เป็น

$\left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle ={\frac {\left\langle m^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$

สุดท้ายนำ $\left\langle m^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle$ ไปแทนในสมการผลรวมเชิงเส้นของของสถานะที่ไม่ถูกรบกวน จะได้สถานะแก้ไขอันดับที่หนึ่ง คือ

$\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{m\not =n}\left|m^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle m^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}$