ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ปรากฏการณ์สตาร์ค

ประวัติ

ปรากฏการณ์สตาร์คคือปรากฏการ์ที่สเปกตรัมของอะตอมหรือโมเลกุลเกิดการเลื่อน หรือแยกออก เนื่องจากการรบกวนของสนามไฟฟ้า โดยปรากฏการ์ณนี้ตั้งชื่อตาม Johannes Stark การค้นพบนี้มีส่วนสำคัญอย่างมากในการสร้างทฤษฏีควอนตัม

ปรากฏการณ์สตาร์คมีลักษณะเดียวกับปรากฏการณ์ซีมาน เพียงแต่ปรากฏการณ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับโมเมนตัมเชิงมุมและสปิน แต่เกี่ยวข้องกับไดโพลไฟฟ้าของอะตอม (Electric dipole moment)

ไฟฟ้าสถิตแบบดั้งเดิม

ปรากฏการณ์สตาร์คคือปรากฏการ์ที่สเปกตรัมของอะตอมหรือโมเลกุลเกิดการเลื่อน หรือแยกออก เนื่องจากการรบกวนของสนามไฟฟ้าภายนอก โดยก่อนจะเข้าสู่กลศาสตร์ควอนตัมเราได้อธิบายอันตรกิริยาแบบดังเดิม โดยให้ประจุมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ ρ(r). ถ้าประจุไม่มีการโพลาไรซ์พลังงานที่กระทำจะขึ้นกับสนามไฟฟ้าภายนอก V(r) คือ

$E_{\mathrm {int} }=\int \rho (\mathbf {r} )V(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ^{3}$.

สมมติว่าประจุที่กระจายอยู่นั้นอยู่ในสนามไฟฟ้าที่คงที่ นั่นคือจะสามารถหา V ได้จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับที่สอง

$V(\mathbf {r} )=V(\mathbf {0} )-\sum _{i=1}^{3}r_{i}F_{i}$, กับสนามไฟฟ้า : $F_{i}\equiv -\left.\left({\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}\right)\right|_{\mathbf {0} }$,

ทีุ่จดกำเนิด 0 สักที่ใน ρ. เราจะให้ V(0) เป็นพลังงานที่ศูนย์จะได้ว่า

$E_{\mathrm {int} }=-\sum _{i=1}^{3}F_{i}\int \rho (\mathbf {r} )r_{i}d\mathbf {r} \equiv -\sum _{i=1}^{3}F_{i}\mu _{i}=-\mathbf {F} \cdot {\boldsymbol {\mu }}$.

เราจะนำไดโพลโมเมนต์ μ ของ ρ มาอินทิเกรตบนการกระจายของประจุ ในกรณีที ρ ประกอบด้วย N จุดประจุ q_j จะสามารเขียนในรูปของผลรวม

${\boldsymbol {\mu }}\equiv \sum _{j=1}^{N}q_{j}\mathbf {r} _{j}$.

ทฤษฎีการรบกวน

อันตรกิริยาของอะตอมหรือโมเลกุลกับสนามภายนอกที่สม่ำเสมอสามารถอธิบายได้ตามตัวดำเนินการดังกล่าวคือ

$V_{\mathrm {int} }=-\mathbf {F} \cdot {\boldsymbol {\mu }}.$

อันดับที่หนึ่ง

ให้อะตอมหรือโมเลกุลยังไม่ถูกรบกวน โดยอยู่ในอันดับที่ศูนย์ และมีฟังก์ชันสถานะดังนี้ คือ $\psi _{1}^{0},\ldots ,\psi _{g}^{0}$ จากทฤษฎีการรบกวนจะได้ว่า พลังงานอันดับที่หนึ่ง คือค่าลักษณะเฉพาะของ g x g เมทริกซ์ จะได้ว่า

$(\mathbf {V} _{\mathrm {int} })_{kl}=\langle \psi _{k}^{0}|V_{\mathrm {int} }|\psi _{l}^{0}\rangle =-\mathbf {F} \cdot \langle \psi _{k}^{0}|{\boldsymbol {\mu }}|\psi _{l}^{0}\rangle ,\qquad k,l=1,\ldots ,g.$

ถ้า g = 1 พลังงานอันดับที่หนึ่ง จะขึ้นอยู่กับค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย) ของตัวดำเนินการไดโพล ${\boldsymbol {\mu }}$,

$E^{(1)}=-\mathbf {F} \cdot \langle \psi _{1}^{0}|{\boldsymbol {\mu }}|\psi _{1}^{0}\rangle =-\mathbf {F} \cdot \langle {\boldsymbol {\mu }}\rangle .$

อันดับที่สอง

ณ ที่สถานะรูปแบบกำลังสองของปรากฏการณ์สตาร์กสามารถอธิบายโดยทฤษฎีการรบกวน ปัญหาอันดับที่ศูนย์

$H^{(0)}\psi _{k}^{0}=E_{k}^{(0)}\psi _{k}^{0},\quad k=0,1,\ldots ,\quad E_{0}^{(0)}<E_{1}^{(0)}\leq E_{2}^{(0)},\dots$

สมมติว่าแก้ได้ โดยสมมติให้อันดับที่ศูนย์เป็นสถานะ non-degenerate ถ้าให้สถานะที่ศูนย์เป็นสถานะ non-degenerate ภายใตการพิจารณา (อะตอมที่คล้ายไฮโดรเจน : n = 1) ทฤษฎีการรบกวนจะได้ว่า

$E^{(2)}=\sum _{k>0}{\frac {\langle \psi _{0}^{0}|V_{\mathrm {int} }|\psi _{k}^{0}\rangle \langle \psi _{k}^{0}|V_{\mathrm {int} }|\psi _{0}^{0}\rangle }{E_{0}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{3}F_{i}\alpha _{ij}F_{j}$

และองค์ประกอบของ ความเป็นโพราไลซ์ เทนเซอร์ α นิยามได้ว่า

$\alpha _{ij}\equiv -2\sum _{k>0}{\frac {\langle \psi _{0}^{0}|\mu _{i}|\psi _{k}^{0}\rangle \langle \psi _{k}^{0}|\mu _{j}|\psi _{0}^{0}\rangle }{E_{0}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}.$

พลังงาน E⁽²⁾ ให้สมการกำลังที่สองของ Stark effect. เพราะว่าในสมมาตรของทรงกลมของความเป็นโพราไลซ์ เทนเซอร์ของอะตอมจะเป็นแบบ ไอโซโทรปิค

$\alpha _{ij}=\alpha _{0}\delta _{ij}\Longrightarrow E^{(2)}=-{\frac {1}{2}}\alpha _{0}F^{2},$